矩阵运算

前言

矩阵的运算有加，减，乘三种。

其实还有矩阵求逆但太难了我就不写了2333

这里$m\times n$表示$m$行$n$列，从$1$开始。

加法

同类型的矩阵加法

对于矩阵$A,B,C,A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C)$。
假设现在有矩阵$A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$和$B=\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\...\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$。

则$A+B=\begin{vmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&...&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&...&a_{2n}+b_{2n}\\...\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&...&a_{mn}+b_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$

不同类型的矩阵加法

假设现在有矩阵$A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$和$B=\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2p}\\...\\b_{q1}&b_{q2}&...&b_{qp}\end{vmatrix}(q\times p)$。

则$A+B=\begin{vmatrix}A&0\\0&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}&0&0&...&0\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}&0&0&...&0\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}&0&0&...&0\\0&0&...&0&b_{11}&b_{12}&...&b_{1p}\\0&0&...&0&b_{21}&b_{22}&...&b_{2p}\\...\\0&0&...&0&b_{q1}&b_{q2}&...&b_{qp}\end{vmatrix}[(m+q)\times (n+p)]$

减法

减法只能同类型的矩阵相减。

同上，若有$A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$和$B=\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2n}\\...\\b_{m1}&b_{m2}&...&b_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$。

则$A-B=\begin{vmatrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}&...&a_{1n}-b_{1n}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}&...&a_{2n}-b_{2n}\\...\\a_{m1}-b_{m1}&a_{m2}-b_{m2}&...&a_{mn}-b_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$

乘法

乘法有数乘（矩阵乘一个数）和矩阵相乘。

数乘

若有$A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$和一个数$\lambda$。

$A\times \lambda=\begin{vmatrix}a_{11}\times\lambda&a_{12}\times\lambda&...&a_{1n}\times\lambda\\a_{21}\times\lambda&a_{22}&...&a_{2n}\times\lambda\\...\\a_{m1}\times\lambda&a_{m2}\times\lambda&...&a_{mn}\times\lambda\end{vmatrix}(m\times n)$

矩阵乘法（矩阵乘矩阵）

一个$m\times n$和一个$q\times p$的矩阵相乘，仅当 $n=q$时有意义，答案矩阵的大小是$m\times p$。

那么假设有$A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}(m\times n)$和$B=\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&...&b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&...&b_{2p}\\...\\b_{n1}&b_{n2}&...&b_{np}\end{vmatrix}(n\times p)$。

那么答案矩阵$C=\begin{vmatrix}???\end{vmatrix}(m\times p)$（因为要写的东西太多，这里就不写了2333）

答案矩阵$C_{xy}=\sum_{i=1}^nA_{xi}\times B_{iy}$。

在矩阵乘法中，矩阵满足如下规律：

• $(AB)C=A(BC)$
• $(A+B)C=AC+BC$
• $C(A+B)=CA+CB$

最后附注

在普通的乘法中，一个数乘$1$还是等于它本身，在矩阵乘法中也有这么一个“$1$”，它就是单位矩阵

不同于普通乘法中的单位$1$，对于不同矩阵他们的单位矩阵大小是不同的

对于$m\times n$的矩阵，它的单位矩阵大小为$m\times m$，对于$p\times q$的矩阵，它的单位矩阵大小为$p\times p$。

也就是说，单位矩阵都是正方形的。

这是因为只有正方形的矩阵能保证结果和前一个矩阵形状相同

单位矩阵的元素非$0$即$1$，从左上角到右下角的对角线上元素皆为$1$，其他皆为0。——子谦。

这里因为不想写了，直接摘抄子谦。大佬的话

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define ns "-1"
#define fs(i,x,y,z) for(ll i=x;i<=y;i+=z)
#define ft(i,x,y,z) for(ll i=x;i>=y;i+=z)
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sz(a) sizeof(a)
using namespace std;
const int N=151,inf=0x7f7f7f7f,moda=1000000007;//2个最大值是360，推荐值351
inline ll read(){
	ll date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
} 
struct kucan{
	ll p,q,dlt[N][N];//p*q
	kucan(){
		p=1,q=1;
		ms(dlt,0);
	}
	kucan operator + (const kucan b) const{
		kucan c;
		if(b.p==p&&b.q==q){
			fs(i,1,p,1){
				fs(j,1,q,1){
					c.dlt[i][j]=dlt[i][j]+b.dlt[i][j];
				}
			}
			c.p=p;
			c.q=q;
		}else{
			fs(i,1,p,1){
				fs(j,1,q,1){
					c.dlt[i][j]=dlt[i][j];//+b.dlt[i][j];
				}
			}
			fs(i,1,b.p,1){
				fs(j,1,b.q,1){
					c.dlt[i+p][j+q]=b.dlt[i][j];
				}
			}
			c.p=p+b.p;
			c.q=q+b.q;
		}
		return c;
	}
	kucan operator - (const kucan b) const{
		kucan c;
		if(b.p==p&&b.q==q){
			fs(i,1,p,1){
				fs(j,1,q,1){
					c.dlt[i][j]=dlt[i][j]-b.dlt[i][j];
				}
			}
			c.p=p;
			c.q=q;
		}
		return c;
	}
	kucan operator * (const kucan b) const{
		kucan c;
		if(b.p==q){
			c.p=p;
			c.q=b.q;
			fs(i,1,c.p,1){
				fs(j,1,c.q,1){
					ll jk=0;
					fs(k,1,q,1){
						jk+=dlt[i][k]*b.dlt[k][j];
						jk%=moda;
					}
					c.dlt[i][j]=jk;
					c.dlt[i][j]%=moda;
				}
			}
			
		}
		return c;
	}
	kucan operator * (const ll b) const{
		kucan c;
		fs(i,1,p,1){
			fs(j,1,q,1){
				c.dlt[i][j]=dlt[i][j]*b;
			}
		}
		c.p=p;
		c.q=q;
		return c;
	}
	void out(){
		fs(i,1,p,1){
			fs(j,1,q,1){
				printf("%lld ",dlt[i][j]);
			}
			puts("");
		}
	}
	void in(int x,int y){
		p=x;
		q=y;
		fs(i,1,p,1){
			fs(j,1,q,1){
				dlt[i][j]=read();
			}
		}
	}
}a,ans;
kucan ksm(kucan a,ll b){
    kucan ans;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a;
	    }
	    a=a*a;
	    b>>=1;
	}
    return ans;
}
int main(){
	return 0;
}